福建2020國(guó)考數(shù)量關(guān)系同色抽取的極值問題

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數(shù)學(xué)運(yùn)算一直是大家比較頭痛的問題，尤其是其中相對(duì)較難的極值問題(又稱為構(gòu)造問題)。

一、同色抽取的極值問題。

該類問題一般表述為：有若干種不同顏色的紙牌，彩球等，從中至少抽出幾個(gè)，才能保證在抽出的物品中至少有n個(gè)顏色是相同的。解題常用通法：先對(duì)每種顏色抽取(n-1)個(gè)，如果某種顏色的個(gè)數(shù)不夠(n-1)的，就對(duì)這種顏色全取光，然后再將各種顏色的個(gè)數(shù)加起來，再加1，即為題目所求。

【例1】從一副完整的撲克牌中，至少抽出( )張牌，才能保證至少6張牌的花色相同。

A. 21

B. 22　

C. 23

D. 24

【解析】先對(duì)四種常見花色“桃杏梅方”各抽取n-1=5個(gè)，總共抽取5×4=20張�？紤]到這是一副完整的撲克牌，再對(duì)特殊的花色“大小王”進(jìn)行抽取，大小王只有2張，不夠n-1的要求，就對(duì)其全部取光，總共抽取2張。將以上各種顏色的個(gè)數(shù)加起來，再加1，即5×4+2+1=23張，即為所求，答案選C。

二、特定排名的極值問題。

該類問題一般表述為：若干個(gè)整數(shù)量的總和為定值，且各不相同(有時(shí)還會(huì)強(qiáng)調(diào)：各不為0或最大不能超過多少)，求其中某一特定排名的量所對(duì)應(yīng)的最大值或最小值。解題常用通法：將所求量設(shè)為n，如果要求n最大的情況，則考慮其它量最小的時(shí)候;反之，要求n最小的情況，則考慮其它量盡可能大。

【例2】5人的體重之和是423斤，他們的體重都是整數(shù)，并且各不相同，則體重最輕的人，最重可能重( )�！�

A. 80斤

B. 82斤　　

C. 84斤

D. 86斤

【解析】體重最輕的人，是第5名，設(shè)為n�？紤]其最重的情況，則其他人盡可能輕。第四名的體重大于第五名n，但又要盡可能輕且不等于n，故第四名是n+1。同理，第三名至第一名依次大于排名靠后的人且取盡可能小的值，故依次為n+2，n+3，n+4。

五個(gè)人盡可能輕的情況下，總重量為n+n+1+n+2+n+3+n+4=4n+10。

實(shí)際總重量423應(yīng)大于等于盡可能輕的總重量，故4n+10≤423，解得n≤82.6，所以n最大為82斤，答案選B。

三、多集合的極值問題。

該類問題一般表述為：在一個(gè)量的總和(即全集)里，包含有多種情況(即多個(gè)子集)，求這多種情況同時(shí)發(fā)生的量至少為多少。解題常用通法：多種情況交叉發(fā)生的量完全不知道，故無(wú)法正面求解，所以將題目轉(zhuǎn)化為：至多有多少量并不是多種情況同時(shí)發(fā)生，也就是只要有一種情況不發(fā)生即可。求出題目中多個(gè)情況不發(fā)生的量，相加即可得到只要有一種情況不發(fā)生的最大值，再用總題量相減，即可得所求量。計(jì)算通式：總和M，每種情況發(fā)生的量分別為a，b，c，d，則多種情況同時(shí)發(fā)生的量至少為M-【(M-a)+(M-b)+(M-c)+(M-d)】

【例3】某社團(tuán)共有46人，其中35人愛好戲劇，30人愛好體育，38人愛好寫作，40人愛好收藏，這個(gè)社團(tuán)至少有多少人以上四項(xiàng)活動(dòng)都喜歡?( )　A.5 B.6　C.7 D.8

【解析】每種活動(dòng)不喜歡的人數(shù)分別為46-35=11人，16人，8人，6人。故四種活動(dòng)都喜歡的反面——“四種活動(dòng)不都喜歡”——即只要有一種活動(dòng)不喜歡的人數(shù)最多為11+16+8+6=41人，所以四種活動(dòng)都喜歡的人數(shù)最少為46-41=5人，答案選A。

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