行測備考技巧：剩余定理問題

在公務(wù)員考試行測中的數(shù)學(xué)運(yùn)算部分，我們常用到整除的思想，但是有些題目我們會(huì)發(fā)覺題目中的被除數(shù)不滿足能被整除的條件，即有余數(shù)，有一類題目稱為剩余問題，常見形式為一個(gè)數(shù)同時(shí)滿足除以a余x，除以b余y,除以c余z,其中a、b、c兩兩互質(zhì)，求滿足這樣條件的數(shù)。對于這類題目我們在沒有學(xué)習(xí)剩余定理之前往往只能采用枚舉法來解決，而這種方法是比較繁瑣的，在行測考試中時(shí)間對大家來說是最重要的，因此掌握此種題型的解題方法對大家在做題準(zhǔn)確率以及做題速度上都有很大幫助。下面結(jié)合具體的例子給大家做一詳細(xì)的講解。

 

剩余問題的解法：

 

1. 特殊情況

 

（1）余同（余數(shù)相同）加余

 

【例題1】某校二年級全部共3個(gè)班的學(xué)生排隊(duì)，每排4人，5人或6人，最后一排都只有2人，這個(gè)學(xué)校二年級有（ ）名學(xué)生。

 

A.120 B.122 C.121 D.123

 

【答案】B

 

【解析】方法一：代入排除法（略）

 

方法二：由題意可知該校二年級的學(xué)生人數(shù)除以4、5、6均余2，余數(shù)相同，屬于余同，因此該班學(xué)生人數(shù)滿足通項(xiàng)公式N=60n+2 ，（n=0,1,2,3……），當(dāng)n=2時(shí)，N=122,選擇B項(xiàng)。

 

注：n前面的系數(shù)60是取4、5、6三個(gè)除數(shù)的最小公倍數(shù)。

 

（2）和同（除數(shù)和余數(shù)的和相同）加和

 

【例題2】某個(gè)數(shù)除以5余3，除以6余2，除以7余1，求在0至500內(nèi)滿足這樣的自然數(shù)有多少個(gè)？

 

A.3 B.2 C.4 D.5

 

【答案】A

 

【解析】此題我們通過觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)除數(shù)與余數(shù)的和相加均為8，則該自然數(shù)應(yīng)滿足N=210n+8（n=0,1,2……）因此在0至500以內(nèi)滿足題干條件的自然數(shù)有8,218,428三個(gè)數(shù)。

 

注：n前面的系數(shù)210是取5、6、7三個(gè)除數(shù)的最小公倍數(shù)。

 

（3）差同（除數(shù)與余數(shù)之差相同）減差

 

【例題3】三位運(yùn)動(dòng)員跨臺(tái)階，臺(tái)階總數(shù)在100-150級之間，第一位運(yùn)動(dòng)員每次跨3級臺(tái)階，最后一步還剩2級臺(tái)階。第二位運(yùn)動(dòng)員每次跨4級臺(tái)階，最后一步還剩3級臺(tái)階。第三位運(yùn)動(dòng)員每次跨5級臺(tái)階，最后一步還剩4級臺(tái)階。問：這些臺(tái)階總共有多少級？

 

A. 119 B. 121 C. 129 D. 131

 

【答案】A

 

【解析】方法一：代入排除法（略）。

 

方法二：通過觀察我們會(huì)發(fā)現(xiàn)除數(shù)與余數(shù)的差均為1，因此臺(tái)階數(shù)滿足：N=60n-1（n=1,2,3……），可發(fā)現(xiàn)A項(xiàng)滿足該通項(xiàng)公式。

 

2.一般情況

 

用同余特性解題

 

【例題4】三位數(shù)的自然數(shù)P滿足：除以3余2，除以7余3，除以11余4，則符合條件的自然數(shù)P有多少個(gè)？

 

A.5 B. 4 C. 6 D. 7

 

【答案】B

 

【解析】此題不滿足所給的條件不滿足我們前面所講的特殊情況，但是通過觀察我們發(fā)現(xiàn)，P滿足除以3余2，除以7余3兩個(gè)條件時(shí)，在P的基礎(chǔ)上加上4, 即（P+4）這個(gè)數(shù)一定是能夠被3整除以及被7整除的，因此（P+4）=21n，所以P=21n-4……①，得到的這個(gè)通項(xiàng)公式再與除以11余4進(jìn)行找通項(xiàng)公式。該自然數(shù)P=21n-4=11a+4,等式左邊都是被11除，等式左邊的余數(shù)為10n-4,等式右邊的余數(shù)為4，我們知道一個(gè)數(shù)被11除余4，也可以認(rèn)為這個(gè)數(shù)被11除余15，或被11除余26等。根據(jù)同余特性可知，等式左邊的余數(shù)10n-4應(yīng)與等式右邊的余數(shù)4,15,26等數(shù)值相等。因?yàn)閚要取整數(shù)，所以取10n-4=26可以得到n=3代入①式得到P=59，所求的59這個(gè)數(shù)是滿足題干三個(gè)條件的最小數(shù)，所以，滿足題干三個(gè)條件的數(shù) P=231n+59（n=1,2,3……），所以在三位數(shù)以內(nèi)的數(shù)有290,521,752,983四個(gè)數(shù)。選擇B項(xiàng)。

 

【例題5】一個(gè)自然數(shù)P同時(shí)滿足除以3余1，除以4余3，除以7余4，求滿足這樣條件的三位數(shù)共有多少個(gè)？

 

A.10 B.11 C.12 D.13

 

【答案】B

 

【解析】先取其中兩個(gè)條件，除以3余1，除以4余3，即P=4n+3=3a+1，等式兩邊同時(shí)除以3，等式左邊的余數(shù)為n,等式右邊的余數(shù)為1，即 n=1,代入上式可知滿足上述兩個(gè)條件的最小的數(shù)為7，則同時(shí)滿足上述兩條件的數(shù)的通項(xiàng)公式為P=12n+7……①，再將①式所得的條件與題干中除以7余 4的條件組合成新的條件。即滿足題干中三個(gè)條件的數(shù)P=12n+7=7b+4，等式兩邊同時(shí)除以未知數(shù)較小的系數(shù)7，則左邊余數(shù)為5n，等式右邊的余數(shù)是 4，也可認(rèn)為余數(shù)是25，即5n=25，求解得n=5，代入到①式中，即同時(shí)滿足題干中三個(gè)條件的最小的自然數(shù)P=67，則滿足題干三個(gè)條件的數(shù)的通項(xiàng)公式為P=84n+67（n=0,1,2,3……）即100≦84n+67≦999可求得1≦n≦11，即符合題意的數(shù)共有11-1+1=11個(gè)數(shù)。

 

在中國剩余問題的解決過程中，遇到一些余數(shù)較為特殊的情況下用剩余定理能夠很好的解決，但是對于出現(xiàn)的和不同，差不同，余不同的情況下，可以用同余特性得到很好的解決。主要思路是先找滿足題干中兩個(gè)條件的通項(xiàng)公式，將三者條件轉(zhuǎn)化成二者條件，然后再次利用同余特性加以解決即可。